摘要：随着力学研究不断向多学科交叉、跨尺度关联及极端环境影响推进，强非线性、强间断、多场强耦合、多尺度与复杂几何构型已成为解决各类力学问题定量分析所面临的共性特征。长期定量研究的实践表明，实现具有这类特征力学问题有效求解的核心之一，是如何构建在多尺度情形、非线性因素作用下具有准确识别、定位、捕获以及分离各个尺度特征尤其是小尺度局部特征能力的数值工具，这些能力之中包括了大尺度低阶近似解与小尺度高阶微小截断误差的有效分离解耦。而小波理论固有的多分辨分析和时频局部化特性，以及丰富的基函数可选择性恰好能满足这一数学特征需求，因此可为发展各类复杂力学问题的高效定量求解方法提供有效的理论支撑和丰富多样的技术途径。基于这一事实，本文对小波理论进行了全面探讨，着重介绍了双正交多分辨分析的理论框架和常用小波基的构造方法。在此基础上，深入研究了有限区域上小波逼近格式的构建方法，并系统阐述了各类基于小波理论的数值方法的基本原理、发展历程及其优缺点。特别关注了近期出现的具有突出性能的几类新型小波方法，并详细评述了它们在典型力学问题求解中的应用效果。同时，本文也指出了当前小波方法在复杂强非线性力学问题求解中所面临的挑战，旨在为小波数值方法的未来发展及其在复杂力学与工程问题中的应用拓展提供有益的参考，并为最终实现这些问题的高效、高精度普适定量求解提供新的视角和方法。
文章目录
1 引 言
2 小波基础理论
2.1 双正交多分辨分析
2.2 经典正交小波
2.3 插值小波
2.4 基于提升格式的第二代小波
3 有限区域上的小波逼近格式
3.1 尺度函数分解系数计算方法
3.2 一维有限区间上的小波逼近格式
3.3高维有界区域上的小波逼近格式
3.4小波逼近格式对非线性微分方程的封闭近似
4 小波数值方法
4.1 小波配点法
4.2 小波积分配点法
4.3 小波伽辽金法
4.4 小波有限元法
4.5 小波Laplace反变换算法
4.6 其他方法
5 小波数值方法在计算力学中的应用
5.1 梁杆板壳的静力学和动力学问题
5.2断裂力学中裂纹扩展问题
5.3 双曲守恒律问题
5.3.1时空演化问题小波自适应算法基本原理
5.3.2双曲守恒律方程
Harten(1995
5.4 不可压缩流动问题
6 总 结
